Category Archive MATEMATİK VE HAYAT

Königsberg’in Yedi Köprüsü ve Topolojinin Doğuşu

Königsberg’in Yedi Köprüsü | Hanifihoca.Com

Bazen bir problemi çözmek, bir problemi çözmekten daha fazlasıdır. Königsberg Köprüleri Problemi buna güzel bir örnektir. Königsberg günümüzde Rusya Federasyonu’nda Kaliningrad adıyla yer alan, tarihte ise Alman Doğu Prusya eyaletinin başkenti olan bir şehirdir. Bu şehirde Eski ve Yeni Pregel nehirleri birleşerek Pregolya nehrini oluşturmaktadır. Bu nehirler şehri dört bölgeye ayırmaktadır ve nehir üzerine inşa edilen yedi köprü ile bu bölgeler birbirine bağlanmıştır. 

Königsberg’in Yedi Köprüsü Problemi şudur: Şehrin herhangi bir noktasından başlayıp, her köprüden yalnızca bir defa geçmek şartıyla bir şehir turu yapılabilir mi?

Çözüme geçmeden önce, Matematikte çok farklı kapılar açan bu problemi çözmeyi denemenizi tavsiye ediyorum.

Anlaşılması basit olan bu probleme çözüm bulunamamış, neden bulunamadığı ise 1736 yılında ünlü matematikçi Leonhard Euler’in çözümüyle açıklığa kavuşmuştur.

Euler’in Çözümü

Euler çözümünde kara parçalarını harflerle, köprüleri ise sayılarla işaretlemiştir. Çözümü kolaylaştırmak ve şekli daha sade hale getirmek amacıyla kara parçalarının noktalarla, köprülerin ise çizgilerle temsil edildiği ikinci bir şekil yani graf (çizge) çizilir. Graflar graf elemanı, noktalar düğüm, düğüme bağlı olan elemanların sayısı ise düğüm derecesi olarak adladırılmak üzere soru, grafın herhangi bir düğümünden başlayarak yedi elemanının her birini bir ve yalnız bir kere kullanarak dolaşma problemine dönüşmüş olur. Bu grafta A, B ve D düğümlerinin derecesi 3, C düğümünün derecesi ise 5’tir.

1736’da Euler’in incelemeleri böyle bir gezintinin mümkün olmadığını kanıtlamış ve bu tür dolaşmayı mümkün kılacak grafların şu özelliklere sahip olmaları gerektiğini göstermiştir: Birleşik bir grafın bütün elemanlarını bir ve yalnız bir defa kullanarak dolaşmak için o grafın tek dereceli düğümlerinin sayısı eğer varsa iki olmalıdır. Tek dereceli düğümler dolaşmanın başlangıç ve bitiş düğümleridir. Grafta böyle düğümler yoksa dolaşmaya herhangi bir düğümden başlanabilir.

Çözümün temelinde yatan düşünce şudur: Bir düğüm, başlangıç ya da bitiş düğümü değilse o düğüme gelen kişinin turu tamamlayabilmek için oradan ayrılması gerekecektir. Dolayısıyla bu tip düğümler çift dereceleri olmalıdır. Oysa tek dereceli bir düğüme, örneğin D düğümüne ikinci kez gelen bir kişi çıkış yolu bulamayacaktır. Dolayısıyla bu düğüm ya gezintinin bitiş düğümü olmalıdır ya da başlangıç düğümü olarak seçilmelidir ki ikinci gelişte çıkış yolu bulunabilsin. Buna göre tek dereceli düğüm sayısı ikiden fazlaysa gezinti tamamlanamayacaktır.Yürüyüşün sonunda başlangıç noktasına dönülebilmesi içinse bütün düğümler çift dereceli olmalıdır. Böylece, başlangıç ve bitiş düğümü aynı olan ve her bir elemanı sedece ve en az bir kez içeren turlara “Euler turu” ve Euler turu içeren graflara da “Euler grafları” denmiştir.

Bir Problemden Fazlası

Leonhard Euler’in bu araştırmaları matematikte tamamıyla yeni bir dal olan graf teorisinin ilk teoremi ve topolojinin keşfinin habercisi olmuştur. Çözümün ardından Euler, “Solutio problematis ad geometriam situs pertinentis” isimli makaleyi yayımlamıştır.

Çözümün Kullanım Alanları

Ayrıt rotalama problemleri, pek çok araştırmacının üzerinde çalıştığı bir rota en iyilemesi problemidir. Bu problemin, gerçek hayatta mektup dağıtımı, yol bakımı, kar temizleme, çöp toplama, devriye araçları ve yol tuzlama konularında pek çok uygulaması vardır. Gerek hükümetler gerekse de işletmeler her yıl bu işlemler için önemli harcamalar yapmaktadırlar. Fakat planlamanın etkin olarak yapılamaması durumunda önemli miktarlarda kaynak israfı söz konusudur.

Yararlanılan Kaynak: https://tr.wikipedia.org/wiki/Königsberg’in_yedi_köprüsü

matematikciler.com

TEOG Merkezi ortak sınavlarda “Matematik” barajı aşıldı

TEOG Merkezi ortak sınavlarda “Matematik” barajı aşıldı

2017 Yılı 2. Dönem TEOG Türkiye Ortalamaları ve 1. Dönem ile Karşılaştırması

Millî Eğitim Bakanlığınca, 8´inci sınıf öğrencilerine yönelik yapılan ikinci dönem merkezi ortak sınavlara ilişkin verilere göre, matematik dersinin başarı ortalaması ilk defa 50 puanın üzerine çıkarak 55,35 düzeyinde gerçekleşti.

Bakanlık, Temel Eğitimden Orta Öğretime Geçiş (TEOG) sistemi kapsamında, 26-27 Nisan´da gerçekleştirilen 8´inci sınıflar 2. dönem merkezi ortak sınavı test ve madde istatistiklerini hazırladı.

Merkezi ortak sınavlar 2. dönem sayısal verilerine göre, sınavlara 1 milyon 185 bin 328 öğrenci katıldı. Sınavların yapıldığı Türkçe, matematik, T.C. inkılap tarihi ve Atatürkçülük, fen bilimleri, yabancı dil, din kültürü ve ahlak bilgisi sorularının yer aldığı testler arasında en çok doğru yapılan test, 146 bin öğrencinin 20 sorunun tamamına doğru yanıt vererek 100 tam puan aldığı din kültürü ve ahlak bilgisi oldu. Geçen yıl, bu testin tamamını doğru cevaplayan öğrenci sayısı 172 bin 405 olmuştu.

Merkezi ortak sınavların ikincisinde, 139 bin öğrenci İngilizce, 112 bin öğrenci fen bilimleri, 177 bin öğrenci Türkçe, 180 bin öğrenci T.C. inkılap tarihi ve Atatürkçülük, 76 bin öğrenci de matematik testinin tüm sorularına doğru yanıt verdi.

Geçen yıl ikinci dönem merkezi ortak sınavlarda matematik testinde 20 sorunun tamamını doğru yanıtlayan öğrenci sayısı 20 bin 299 iken bu yılki sayının 76 bine çıkması dikkat çekti. Öte yandan, testlerdeki puan ortalaması geçen yıl matematikte 42,05 iken bu yıl 55,35 oldu.

Bu kapsamda, ikinci dönem ortak sınavlarda en düşük ortalamaya sahip ders matematik olmasına karşın, bu dersin başarı ortalaması Türkiye genelinde ilk defa 50 puanın üzerine çıkarak 55,35´e ulaştı.

Din kültürü ve ahlak bilgisi ortalaması geçen yıl 78,25 iken bu yıl 78,15 ile yine öğrencilerin en yüksek başarı elde ettiği ders oldu.

İnkılap tarihi ve Atatürkçülük testinin puan ortalaması geçen yıl yüzde 65,08 iken bu yıl 73,75, Türkçe testinin puan ortalaması geçen yıl 60 iken bu yıl 72,3, fen bilimleri testinin puan ortalaması geçen yıl 56,04 iken bu yıl 65,75 olarak gerçekleşti. Öte yandan, İngilizce testinin puan ortalaması 57,60´dan 60,10´a yükseldi.

Testlerin zorluk derecesi

Sınavda madde güçlük indeksi sonuçlarına göre en zor testin matematik, en kolayının ise din kültürü ve ahlak bilgisi testi olduğu belirlendi.

Bakanlık yetkilileri, merkezi ortak sınav verilerine ilişkin yaptıkları değerlendirmede, bu yılki başarının geçen yıllara göre yüksek olmasının, MEB´in hedefleriyle örtüştüğünü vurguladı.

Merkezi ortak sınavların yalnızca bir dersin merkezi olarak yapılması anlamına geldiğine ve sınav stresini azaltmayı amaçladığına işaret eden yetkililer, başarının giderek yükselmesinin bu amacı doğruladığını belirtti.

Yetkililer, merkezi ortak sınavlardaki başarı oranının artmasında, MEB´in Türkiye genelinde ücretsiz düzenlediği destekleme ve yetiştirme kurslarının katkısının da bulunduğuna dikkat çekti. Soruların müfredat kapsamında hazırlandığını ve düzenli çalışan öğrenciler için sürpriz bir sorunun yöneltilmemesinin, başarının artmasındaki diğer bir etken olduğunu vurgulayan Bakanlık yetkilileri, “Sınıfında matematikten 100 alan bir öğrencinin merkezi ortak sınavda da aynı başarıyı gösterebilmesi, MEB´in baştan beri hedeflediği bir sonuçtu.” değerlendirmesinde bulundu.

2017 2.DÖNEM TEOG İSTATİSTİKLERİ VE 2016 YILI KARŞILAŞTIRMASI

 

Parmaklarla Trigonometri Nasıl Hesaplanır, Trigonometri Formülleri

Parmaklarla Trigonometri Nasıl Hesaplanır, Trigonometri Formülleri

parmak hesabı ile trigonometri vikipedi, parmak hesabıyla trigonometri örnekleri, trigonometri pratik yöntemler, trigonometri sağ el kuralı, sinüs hesaplama formülü, trigonometri pratik bilgiler, sinüs hesap makinesi, trigonometrik değerleri ezberlemenin kolay yolu

TEOG’ da Matematik Bilmeden Full Çekilebilecek Sorular

TEOG’ da Matematik Bilmeden Full Çekilebilecek Sorular | 8.Sınıf Matematik

Videonun ders notuna http://www.hanifihoca.com adresinden erişebilirsiniz.
http://www.istanbulmatematik.net