Category Archive Eğlenceli Matematik

Matematik Özel Ders Bakırköy – Bakırköy Matematik Özel Ders

Matematik Özel Ders Bakırköy – Bakırköy Matematik Özel Ders

Bakırköy Özel Ders, Bakırköy Matematik Özel Ders, Matematik Özel Ders, Öğretmenden Özel Ders, YKS Özel Ders Bakırköy, DGS Özel Ders Bakırköy, ALES Özel Ders Bakırköy, YÖS Özel Ders Bakırköy, LGS Özel Ders Bakırköy

Günümüzde binlerce öğrenci okuluna ek olarak katkıda bulunabilecek bir ders görme alanı arar. Bu yüzden de birçok kişi dershaneleri ya da etüt merkezlerini tercih eder. Ancak dershanelerde okullar gibi kalabalık sınıflardan oluştuğundan öğrenciler dikkatini tam olarak veremeyebilir. Dershanede çalışan öğretmenlerde öğrenciler ile tek tek ilgilenemeyeceğinden kişi tam olarak verim alamaz. Ancak Bakırköy Matematik özel ders almanın öğrenciye çok fazla katkısı vardır.

Bakırköy Özel ders almanın en büyük ayrıcalığı tek bir kişiye odaklı ders anlatımıdır. Burada bir Bakırköy Matematik Özel Ders Öğretmeni sadece bir öğrenciye ders anlattığından onun düzeyine göre başlar ve ilerler. Onun anlayacağı şekilde konulara değinir ve kişinin o konuyu en iyi şekilde anlayabilmesini sağlar. Konu eksiklerini tam anlamıyla kapattırır ve kısa sürede konuları daha iyi yapabilmesine olanak sağlar. Sınav öncesi çalışmalarında yardımcı olur ve okulda anlayamadığı konuyu daha iyi anlar.

Bu sayede temelini daha iyi güçlendirir ve notlarını da arttırır. Günümüzde yapılan araştırmalara göre uzun bir süre boyunca bir derste bir türlü başarılı olmayan birçok çocuğun özel ders ile o dersteki problemleri atlattığı görülmektedir. Aynı zamanda özel ders alınan konuların akılda daha kalıcı olduğu ve kişinin o konularda daha hızlı verim aldığı da bilinmektedir.

Öğrencinin niçin Matematik Geometri derslerini çalıştığını bilmesi gerekir. Amaçsız çalışma olmaz. Amaçsız yapılan çalışmalarda dikkat yoktur. Amaç yapılan işin neden yapıldığını belirler. Yapıldığı işin amacını bilmek, öğrencinin bu işi benimseyip ona sahip çıkmasına işin kendisini motive etmesine yardımcı olur.

Matematik Özel Derslerin  dershane ve etüt merkezlerine göre çok daha iyi bir hazırlanma yöntemi olduğu ise birçok uzman tarafından kabul edilmektedir.

Asla unutmayın. Matematik Özel Ders Bakırköy sadece bilginin öğrenciye aktarılması değildir. Özel ders, öğrencinin seviyesinin ve eksiklerinin tam olarak tespit edilmesi, ihtiyaca göre öğrenciye bilgileri aktarabilmek, öğrenciye doğru bir rehberlik sunabilmek ve en önemlisi öğrencinin tek başına ders çalışabilmesini öğretmektir.

Atakent Matematik Özel Ders

Bakırköy YKS Özel Ders

Mezunların sayısının milyonlarla ifade edildiği ülkemizde iyi bir puan alabilmek için YKS sınavında başarılı olmak yetmiyor. Yerine göre çok iyi bir puan almak gerekir. Bunun için YKS derslerine çok sıkı bir şekilde çalışmalıyız. Olmuyorsa mutlaka alanında uzman Öğretmenden Matematik Geometri Özel Ders alınmalıdır.

TYT Matematik ihmal edilmemeli ve unutmayınız ki TYT de alacağınız puan sizin YKS deki başarınızı fazlasıyla etkileyecektir.

Mücadele eden yenilgiye uğrayabilir, mücadele etmeyen zaten yenilmiştir.
Yarın bambaşka bir insan olacağım diyorsun. Niye bugünden başlamıyorsun?
Başarısızlık, insanın başladığı işi bitirememesidir..
Başarısız insanların geçmişi,
yarım kalmış işlerin enkazıyla doludur.

Bakırköy DGS Özel Ders

Bakırköy DGS matematik özel dersinin en temel faydası olarak öğrenciyi kalabalık sınıf ortamından kurtarması ve kişiye özel eğitim sağlaması bakımından öğrenmede verimliliği artırmasıdır. Kalabalık sınıf ortamında öğretmen genele hitap etmesini beklediği eğitim metotlarını uygular. Bu sistemin sonucu öğrenme farklılığı olan öğrenciler yavaş yavaş matematik ve geometriden kopmaya başlarlar. Birçok öğrencide aslında sorun öğrencinin matematik ve geometrideki yetersizliği olmayabilir, asıl sorun öğrenme algılarının farklılığı ve buna hitap eden bir öğretim görmemesi olabilir.

Özellikle şu hususu belirtmek istiyorum. Çalışan ve hedefi olan öğrenciyle yapılan dersler çok verimli olmakta ve öğrencinin başarısı da o oranda artmaktadır. Verdiğim programa uyan öğrencinin başarılı olması kaçınılmazdır. 

Bakırköy ALES Matematik Özel Ders

ALES Matematik Özel Ders öğrencilerime sınavda çıkması muhtemel soruların kolay yöntemlerini öğretiyorum ve bu zamana kadar hiç karşılaşmadığınız yöntemlerle sizi sınavlarda rakiplerinizden bir adım öne geçiriyorum. Özellikle çoğu öğrencinin zorlandığı problemler konusunu o kadar kolay yöntemlerle öğreniyorsunuz ki soruları çözebildiğinizi gördüğünüzde kendinize şaşırmamanız imkansız.

Bakırköy YÖS Özel Ders

YÖS(Yabancı uyruklu Öğrenci Sınavı)’na hazırlanan öğrenci adaylarına Matematik, Geometri ve Genel Yetenek(IQ/Mantık) YÖS Matematik Özel Ders verilmektedir.

YÖS Matematik Özel Ders öğrencilerimle Matematik 1, Matematik 2 ve (IQ) olarak çalışılacaktır. Ayrıca her üniversitenin soru dağılımı farklı olabilmektedir yani bazı üniversiteler %60 IQ %30 Matematik 1 %10 Matematik 2 sorarken bazı üniversitelerde bu dağılım çok farklı olabiliyor. Ama Matematik 1 ve IQ ya hakim olunması işin büyük bir kısmını çözecektir.

Bakırköy LGS Özel Ders

Matematik derslerinde sorunlar özellikle matematiksel temelin atıldığı 6., 7. , 8. ve 9. sınıf seviyelerinde karşılaşıldığında düzenli matematik ve geometri özel ders takviyesi ile giderilebilir.Bu sayede öğrencinin sınıftaki matematik öğretiminden kopmamasını sağlanmış olur.

Özellikle Yeni sınav sisteminde LGS Matematik daha çok önemlidir. LGS’ de başarı matematikle beraber gelir. Sınav sistemi zor ve başarılı olmak çok çalışmayı gerektirir. Bu yüzden hedefi olan her öğrenci Bakırköy LGS Matematik Özel Ders almalıdır.

Özel Dersi Nasıl Veriyoruz?

Bakırköy Matematik özel derste öğrencimiz ile birebir görüşüyoruz. İlk derslerde seviyesinin ne olduğunu anlamaya çalışıyoruz. Hangi sınıfta ise , veya hangi sınava hazırlanıyorsa, ona göre ve ona özel bir program hazırlıyoruz. Öğrenci ve ailesi ile birlikte. Öğrenciyi bu işe katıyoruz, çünkü bu işin asıl öznesi onlardır. Ailesini katıyoruz, çünkü onların da çocuğun evde ne yapıp yapmadığını gözlemlemesi gerekir. Bizler zaten sürekli takip ediyoruz. Programımızda öğrencinin uyabileceği bir program yapmaya özen gösteriyoruz. Daha sonra zamanla eksikliklerini giderip,yavaş yavaş öğrencinin kendi başına soru çözebileceği kıvama getiryoruz. Eğer eksiklikleri ciddi anlamda çok değilse, daha erken hissedilir bir başarı yükselmesi oluyor.Derslerde konuların mantığını kavratmaya çalışıyoruz.  Klasik tabiri ile ezberletmiyoruz, öğretiyoruz. Ayrıca verimli ve tek başına çalışabilmeyi de öğreterek sadece balık vermeyi değil, balık tutmayı da öğretmeye çalışıyoruz. Bir öğrencide olmasını istediğimiz ve yapmaya çalıştığımız en önemli şey de bu. Ona kendi başına nasıl çalışabileceğini öğretmek.  

Öğrencinin evde çalışma alışkanlığı yoksa eğitim-öğretim hayatı boyunca sıkıntı çeker. Bu tür öğrencilere öğrenmeyi ve çalışmayı sevdirerek ders başına oturma alışkanlığı veriyoruz…

Detaylı bilgi için iletişime geçiniz. Beraber planlayalım. 

www.hanifihoca.com

En İyi Matematik Filmleri

En İyi Matematik Filmleri

Matematik filmleri denildiğinde aklımıza dehanın izlerini taşıyan zorlayıcı filmler geliyor. Çok fazla çekilmeyen ama çekildiği zaman seyirciyi ekran başına kilitleyen bu filmler genellikle ilgi çekici insanların hayatlarını beyaz perdeye taşıyor.

Çekildiği seneye mutlaka iz bırakan Matematik filmleri, kâh poker oynarken, kâh bir yerden kurtulmak için matematiğin kullanılmasını işlerken bazıları da biyografik filmler olabiliyor.

Eğer matematik tutkunuysanız ve sayılarla aranız iyiyse ya da bulmacaları seviyorsanız, matematikle harmanlanmış bu filmleri mutlaka izlemelisiniz

15. An Invisible Sign – Aşkın Logaritması – 2010 – IMDb: 5,4

an-invisible-sign-1

 

Başrollerinde Pamela Falk, Michael Ellis, Aimee Bender’ın yer aldığı ABD yapımı filmin yönetmenliğini Marilyn Agrelo üsteleniyor. Babasının hastalığını unutabilmek için çocukluğundan beri matematikle uğraşan Mona Gray, bir matematik dâhisidir. Her konuyu matematikle çözmeye çalışan Mona’nın hayatı bir okulda öğretmenliğe başlamasıyla değişir. Öğrencileriyle kurduğu ilişkilerle hayatı tekrar anlamlandırmayan başlayan Mona, aşkı, çocuk olmayı ve olaylara bakışı yeni baştan öğrenecektir.

14. The Oxford Murders – Oxford Cinayetleri – 2008 – IMDb: 6,1

the-oxford-murders

Alex de la Iglesia’nın yönetmenliğini yaptığı Oxford Cinayetlerinde Yüzüklerin Efendisi filmiyle tanınan Elijah Wood başrolde oynuyor. İngiltere – İspanya yapımı film bir üniversite de işlenen cinayetleri ve bu cinayetleri çözmeye çalışan bir profesör ve öğrencisini konu almaktadır. Katilin arkasında matematiksel notlar bırakması, bu notları çözerek katile ulaşmaya çalışan profesör ve öğrencisi Sherlock Holmes metoduyla ince ve detaylı araştırmalara girer. Guillermo Martinez’in aynı adlı romanından beyaz perdeye aktarılan film, 1 saat 47 dakika sürmektedir.

13. La Solitudine dei Numeri Primi – Asal Sayıların Yalnızlığı – 2010 – IMDb: 6,4

la-solitudine-dei-numeri-primi

İtalya, Almanya, Fransa ortak yapımı dram türündeki bu filmin yönetmenliğini Saverio Costanzo üstlenmiştir. Matematiğin insan doğasındaki izlerini ve Asal sayıların yalnızlığı gibi yalnız insanları anlatan film, çocukluk travmalarının gölgesindeki Alice ve Mattia’nın hikâyesine değinmektedir. Asla eşlerini bulamayan asal sayılar, kayak kazası geçirip ölümden dönen Alice ve engelli kız kardeşinin kaybolmasından kendisini suçlayan Mattia’nın hayatlarına benzemektedir.

12. Enigma -2001 – IMDb: 6,4

enigma

Gizem ve bulmaca manalarına gelen Yunanca bir kelimenin film isminde kullanıldığı Enigma, Michael Apted’in yönetmenliğinde Kate Winslet’in başrolünde olduğu bir filmdir. Dougray Scott, Jeremy Northam’ı diğer rollerde izleyebileceğiniz filmde, 1943 yılında bir matematik dehası olan Tom Jericho’nun Almanların Enigma ismini verdikleri şifrelerini çözmek üzere görevlendirilir. İngilizlere ait 10.000 kişiyi taşıyan bir filo, Almanların aniden istihbarat şifrelerini değiştirmiş olmasından dolayı risk altına girmiştir. Kız arkadaşı Alman ajanı olmakla suçlanan Tom Jericho için şifreyi çözmek üzere zamana karşı bir yarış başlar. Matematik filmleri içerisinde ilgi çekici olanlardan bir tanesi olan Enigma, İngiltere, Almanya, Hollanda, ABD ortak yapımıdır.

11. The Number 23 – 23 Numara – 2007 – IMDb: 6,4

the-number-23

Joel Schumacher’in yönetmenliğini yaptığı ABD – Almanya ortak yapımı film, karısı Agatha ile sıradan bir hayat yaşayan Walter’ın 23 Numara isimli kitabı okumaya başlamasıyla değişen hayatlarını konu alıyor. Kitabı okuyan Walter, kitapta yazılanların kendi hayatıyla ilgisi olduğunu düşünmeye ve gün geçtikçe buna saplantılı bir şekilde inanmaya başlar. Dramatik bir filmde Sil Baştan’dan sonra bir kez daha izleyiciyle buluşan Jim Carrey Walter karakteriyle etkileyici bir performans sunuyor.

10. La habitación de Fermat – Kapan – 2007 – IMDb: 6,7

la-habitacion-de-fermat-1

İspanya yapımı bu filmde, birbirini hiç tanımayan dört matematikçinin büyük bir gizemi çözmeleri için bir mekâna davet edilmeleri işleniyor. Kendilerine soruldukları soruları doğru cevaplamadıkları takdirde bulundukları oda bir anda ölüm tuzağına dönüşecektir. Zamanında çözebilmek için yarıştıkları sorular haricinde asıl çözüme kavuşturmaları gereken, onları buraya kimin getirdiği ve aralarındaki ilişkidir. Luis Piedrahita, Rodrigo Sopeña’nın yazıp yönettiği film, İspanya’nın en genç ve ünlü oyuncularını künyesinde barındırıyor.

9. Proof – Kanıt – 2005 – IMDb: 6,8

proof

Yönetmenliğini John Madden’in üstlendiği ABD yapımı filmin oyuncu kadrosu Gwyneth Paltrow, Anthony Hopkins, Jake Gyllenhaal gibi tecrübeli oyunculardan oluşmaktadır. Ruhsal dengesizlikleri olan matematik dehası babasının yanından hayatı boyunca ayrılmayan Catherine ve babasının hayatı kız kardeşi Claire’in gelmesiyle büyük bir değişime uğrar. Kendisine hükmetmeye çalışan kız kardeşi Claire’le uğraşmaya çalışan Catherine, bir yandan da babasının öğrencisi Hal’le baş etmeye çalışmaktadır. Bütün bu dengelerle uğraşan Catherine bir yandan da babasının ruh sağlığının ne kadar kalıtımsal olduğu üzerine düşünmeye başlar.

8. Agora – Agora – 2009 – IMDb: 7,2

agora

Alejandro Amenábar’ın yönettiği ve Oscar ödüllü oyuncu Rachel Weisz’in başrollerini oynadığı film, tarihin gördüğü en etkileyici kadınlardan birisi olan Hypatia’yı konu alıyor. Matematikçi, filozof ve astronom olan bu kadın antik dönemde erkek egemen filozofların arasından sıyrılmayı başarıyor. Hem güzelliği hem de zekâsıyla ön plana çıkan Hypatia 45 yaşında bu hayattan ayrılmasına rağmen, unutulmayan tarihe damga vurmuş kadınlardan bir tanesidir. Erkeklerin linç etmesiyle öldürülen Hypatia’nın hikâyesi izlemeye değer matematik filmlerinden bir tanesidir.

7. Cube – Küp – 1997 – IMDb: 7,3

cube

Vincenzo Natali’nin yönetmenliğini yaptığı Kanada yapımı film 6 kişinin kapalı bir odada uyanmalarını ve küp şeklinde olan odalardan kurtulmaya çalışmalarını anlatan film yayınlandığı dönemlerin etkileyici filmlerinden bir tanesidir. Değişik mesleklere sahip bu kişiler, ölümcül tuzaklarla dolu bu küpten matematiksel şifreleri çözerek odadan odaya geçip çıkmaya çalışmaktadır. Sonrasında iki filmi daha çekilen filmin künyesinde André Bijelic, Vincenzo Natali, Graeme Manson gibi oyuncular yer alıyor.

6. Stand and Deliver – Kalk ve Diren – 1988 – IMDb: 7,4

stand-and-deliver

Ramón Menéndez’in yönetmenliğini üstlendiği ABD yapımı film, Amerika’da sayıları 40 milyonu aşan İspanyolca konuşan Latin kökenlilerin okuduğu bir okula matematik öğretmeni olarak atanan Jamie Escalante’nin hikâyesini beyaz perdeye taşıyor. Çoğu çete üyesi olan, yetersiz ve ilgisiz öğretmenler nedeniyle okulla ilgileri bulunmayan öğrencilerin oluşturduğu okuldaki öğrencilerin yeteneklerini fark eden Escalante, onları ülkenin matematik alanında en başarılı öğrencilerine dönüştürür.

5. Pi – 1998 – IMDb: 7,5

pi

Darren Aronofsky’nin yönetmenliğini yaptığı film, insan hayatının belki de en önemli buluşlarından birisini yapmak üzere olan sorunlu matematik dehası Max’in hikâyesini konu edinmektedir. Son on yıldır tabiatın kendine ait bir kodlama sistemi olduğunu fark eden Max henüz bunu çözmemiştir. Bu sırrı çözebilmek için çeşitli şeyler deneyen Max, sırrın ilk halkasını çözerse bunu çözebileceğine inanmaktadır. Gerilim ve bilim kurgu türündeki film ABD yapımı ve künyesinde Sean Gullette, Eric Watson, Darren Aronofsky gibi oyuncuları barındırıyor.

4. Hakase no aishita sûshiki – The Professor and His Beloved Equation- Profesör ve Onun Sevgili Denklemi – 2006 – IMDb: 7,6

hakase-no-aishita-sushiki

Takashi Koizumi’nin yönettiği Japonya yapımı filmde, Hiroyuki Kitazawa, Shôji Ueda gibi oyuncular yer alıyor. Bir matematik profesörünün tiyatro gösterisi çıkışında geçirdiği trafik kazasında hafızasını kaybetmesini ve sadece 80 dakikada bir yaşadığı olayları tekrar tekrar unutmasını anlatan bu ilgi çekici film profesörün hayatına giren bakıcı ve oğlu Kök’ü ve artık sadece geçmişte yaşayan profesörün Kök’e matematik öğretmesini konu ediniyor.

3. The Imitation Game – Yapay Oyun – 2014 – IMDb: 8,0

the-imitation-game

Yayınlandığı sene Oscarların iddialı filmlerinden birisi olan Yapay Oyun, Almanların ünlü Enigma şifrelerini ve bunu çözmeye çalışan bir grup insanın hayatını konu alıyor. Gerçek bir hayat hikâyesinden yola çıkan filmde özellikle ünlü matematikçi Alan Turing’in biyografisi işleniyor. Morten Tyldum’un yönettiği filmin başrolünü Sherlock dizisiyle yıldızı parlayan Benedict Cumberbatch üstleniyor. İngiliz yapımı film IMDB Top 250 listesine de girmeyi başarmış filmlerden bir tanesidir.

2. A Beautiful Mind – Akıl Oyunları – 2001 – IMDb: 8,1

a-beautiful-mind

Ünlü matematikçi John Nash’in hayat hikâyesini anlatan film, matematik filmleri içerisinde en bilinenlerden bir tanesidir. IMDB Top 250 de 150. Sırada olan film, Ron Howard yönetmenliğinde ve Russell Crowe’ın etkili oyunculuğuyla beyaz perdeye aktarılıyor. Film genç yaşında oyun teorisi üzerine geliştirdiği kuramlarla matematik dehalarından birisi haline gelen John Forbes Nash Jr. ‘ın akıl hastalıklarıyla, özellikle şizofreniyle baş etmesini anlatan etkileyici bir filmdir.

1. Good Will Hunting – Can Dostum – 1997 – IMDb: 8,2

good-will-hunting

Geçtiğimiz yıllarda kaybettiğimiz Robin Williams’ın etkileyici filmlerinden bir tanesi olan Can Dostum, Matt Damon, Ben Affleck gibi oyuncuları da künyesinde bulundurmaktadır. Gus Van Sant’ın yönetmen koltuğuna oturduğu film, fotografik hafızası güçlü olan fakir bir gencin, üniversite profesörü Sean McGuire’la kurduğu dostluk anlatılmaktadır. Üniversitede hademe olarak çalışan Will, Nobel ödüllü profesörlerin bile çözmekte zorlandığı matematik problemlerini çözünce profesör McGuire’in dikkatini çekiyor. Robin Williams’ın en iyi yardımcı erkek oyuncu Oscar’ını aldığı film aynı zamanda en iyi özgün senaryo dalında da Oscar kazanmıştır.

matematiksel.org

ATAKENT ÖZEL DERS – Türev ve İntegrali Anlamak

ATAKENT ÖZEL DERS

Türev ve İntegrali Anlamak

TÜREV VE İNTEGRAL NEDİR?

Türev ve integral matematiğin en önemli konseptlerinden ikisidir. Günümüzde okullarda bu ikili çok yüzeysel bir şekilde ve çoğunlukla tamamen ezbere dayalı, kavramların ne anlama geldiği öğrenciye söylenmeden, sadece nasıl çözüleceği üzerinden anlatım yapılmaktadır.

Örneğin türev için “sayının üssünü katsayı olarak önüne al ve üssü 1 azalt” denmekte, integrali anlatmak içinse “üssü 1 arttırıp, aynı sayıyı payda olarak sayının altına yaz” gibi kalıp halinde ve algılamanın imkansız olduğu bir biçimde anlatılmaktadır.

ATAKENT ÖZEL DERS

Türev ve İntegrali Basit Bir Örnekle Anlamak

Aslında iki kavram da, öylesine temel ve öylesine basittir ki… Buna rağmen, matematiğin, modern bilimin ve mühendisliğin kalbinde yatan kavramlardır. Türev ve integrali binbir farklı şekilde anlatmak mümkündür, fakat temel düzeyde anlamak için kısa bir tanım yapacağız:

Türev, herhangi bir zaman aralığındaki değişim miktardır. Yani “değişim”i ölçmek için kullanılır. Az sonra örneklendireceğiz. İntegral ise, belli bir aralıktaki toplam değişimi, ya da biriken değişim miktarını, ifade etmek için kullanılır. Türev ve integrali anlamak için, integrali çözme yöntemleri bir kenara bırakılarak, hayattan örneklere bakılabilir.

Örneğin tavanınız akıtıyorsa ve etrafı su götürmemesi için akıtan noktanın hizasına büyük bir kova koyduysanız, kova içerisindeki su damla damla birikecektir. Birim zamanda (örneğin 1 saatte) kovadaki suyun hacmindeki değişim miktarı türev ile hesaplanır. Çok basit tabiriyle, hacim miktarındaki değişimin, zamandaki değişime oranıdır. Tabii ki bu hesabın bu şekilde kolayca anlaşılabilmesi için, tavanın düzenli olarak akıttığı varsayılmalıdır. Eğer ki tavan bir hızlı, bir yavaş akıtıyorsa, o zaman çeşitli yöntemlerle bu akıtma davranışı matematiksel olarak tanımlanmalı ve ondan sonra belirli bir zamandaki değişim hesaplanmalıdır. Fakat basit bir şekilde düşünecek olursak, her saniye 1 damla damlatan bir tavanın kovayı doldurma hızı, türevle hesaplanır. Bu tür çok basit işler için yapılan işlemlerde türev, basit çarpım ve toplam işlemlerine dönüşür. Bu sebeple türev olarak düşünemize gerek kalmaz; ancak değişim olan her şeyin özü, türeve dayanmaktadır. İntegral ise, belli bir değerin, belli bir diğer değere göre değişiminin toplamıdır. Örneğin damlatan tavanımızın hızının giderek arttığını düşünelim. 24 saatlik bir süre zarfında, kaç kova dolusu su birikeceğini, integral hesabıyla bulabiliriz.

Görseldeki İntegrali Anlamak

Görselde, “edebi” bir örnek üzerinden integral anlatılmaktadır. Her ne kadar bilimsel geçerliliği tartışılır olsa da, integral hesaplarında yer alan değerleri anlamak için faydalı olduğu için bu örneği vermek istedik. Öncelikle, denklemde sol tarafta belirtilen “yaşam”, integral işleminin sonucudur. Yani tanımlamak istediğimiz şey, yaşamdır. Burada, örneklemek bakımından şu edebi cümleyi düşünelim: “Yaşam, ömrünüz boyunca geçirdiğiniz zamanda aldığınız mutlulukların toplamından ibarettir.”
 
Bu cümlenin integral ifadesi, görseldeki gibidir. Önce, değişken belirlenmelidir. Burada değişen şey, zamandır. Sonrasında, hesaplamak istediğimiz şey belirlenir: mutluluk. Yani sözün iddia ettiği gibi, mutluluğun zaman içerisindeki birikimini hesaplamak istiyoruz. Bunun, yaşama eşit olduğunu iddia edeceğiz. İntegral işareti (uzunca bir S şeklinde olan işaret) altına, değişkenin (bu durumda “zaman”) başlangıcı yazılır: doğum. Üstüne, hesaplanmak istenen aralığın sonu yazılır: ölüm. İntegralin iç kısmına, hesaplanmaya çalışılan şey yazılır. Bu durumda, “zaman başına düşen mutluluk” hesaplanmaktadır. Dolayısıyla “mutluluğun zamana bölümü” yazılmıştır. Benzer bir hesap, sadece “mutluluk” olarak da yapılabilirdi. Bu örnekte, zaman başına düşen mutluluk yazılmıştır. Son olaraksa, değişken Δ işaretiyle (ya da genelde “d” harfiyle) birlikte yazılır. Δzaman, “birim zaman” demektir. İşte oldu! Zaman (ya da birim zaman) başına düşen mutluluğun birikimini, doğumdan ölüme kadar, birim zaman aralıkları boyunca hesapladık. Bunu da yaşama eşitledik!
Aynı örnek üzerinden gidilecek olursa türev, iki birim zaman arasındaki mutluluk miktarınızın değişimiyken; integral, birim zamanlar boyunca belli bir aralıkta tüm bu mutluluk değerlerinin bir toplamıdır. Bu örnekteki temel nokta, “mutluluk” değerinin matematiksel ifadesidir. İntegral içerisinde toplamak istediğimiz olgunun matematiksel ifadesi önemlidir. Yani edebi bir anlatım yapmıyor olsaydık da, mutluluk yerine yazacağımız şeyi (örneğin değişen hızlarda damlatan bir çatıyı) matematiksel olarak tanımlamamız gerekirdi. Ki bu, gerçek sorunlarla karşılaşan bilim insanlarının yaptığı ilk şeydir. Sonrasında, integrali tespit ederler ve sayısız çözüm yönteminden uygun olan birini kullanarak çözerler.
Grafiklerin Türev ve İntegralini Anlamak
Bu noktada, okullarda kalıp halinde öğretilen bir diğer nokta da anlaşılır hale gelebilir. Lisede hep şuna benzer bir şey söylerler: “türev, grafikte belli bir noktaya çizilen teğet çizgisinin eğimiyle ifade edilir.” Neden? Türevin anlamını hatırlayın: değişim! Elimizdeki grafik (ya da “geometrik eğri”), tıpkı yukarıda anlattığımız “mutluluğun matematiksel tanımı” gibi, bir şeyi grafiksel olarak tanımlayan bir çizgidir. Bunun herhangi bir noktasındaki (eğer zamana bağlı türev alıyorsak, herhangi bir “anındaki”) değişim, eğri üzerinde spesifik olarak o noktadan bir sonraki noktaya geçerken ne kadar değişim geçirmemiz gerektiğidir. Bunu tam olarak tespit etmek mümkün değildir, ancak o noktada grafiğe çizilen bir teğet, tıpkı bir “kaydırak” görevi görecek ve dikkate aldığımız noktadan, bir sonraki noktaya olan gidişatı belirleyecektir. O kaydırak ne kadar “dik” ise, o kadar hızlı bir değişim var demektir: çünkü dik bir kaydıraktan, hızlı bir şekilde kayabilirsiniz. Değişim, çok hızlı olur. O teğet ne kadar yataysa, değişim o kadar azdır. Çünkü yatay bir kaydırakta çok yavaş ilerleyebilirsiniz, konumunuzun değişimi çok azdır! Yani gerçek hayattaki bir kaydırak, sizin bir noktadan bir sonraki noktaya gidişinizi gösteren bir türev eğrisi gibi düşünülebilir.
İntegral ise, bir eğrinin altında kalan her şeyin toplamıdır. Zaten tanımı gereği, integralin “iki aralık arasında değişen bir değişkenin toplamı” olarak izah edildiğini hatırlayın. Bu sebeple, bir hız-zaman grafiğinin yatay eksen ile arasındaki toplam alan, alınan toplam yolu verir. Bunu iki açıdan düşünebilirsiniz: ilki, somut fiziktir. Konum, hızın zamana göre integralidir. Dolayısıyla hız grafiğinin altındaki alan, integrale denk geldiğinden, toplam konumu verir. Anlaması, lisedeki gibi zor, değil mi? Ancak ikinci yöntem, integralin basamak basamak toplamak olduğunu düşünmektir. Belli bir hızla hareket eden bir cisim, her saniye belli bir miktar yol kat eder. Bu yolların toplamı, iki zaman sınırı arasında alınan toplam yola eşittir. İşte bunu kolayca bulmanın yolu, grafiği tanımlayan matematiksel denklemin integralini almaktır. x eksenine göre (Δx veya dx yazarak) integralini aldığınızda, x ekseni ile grafik arasında kalan alanı hesaplamış olursunuz. Eğer grafiğiniz hız-zaman eğrisiyse bu size toplam alınan yolu verir.
Kalkülüs’ün Temel Teoremi’ne göre türev ve integral birbirinin tersidir. Dolayısıyla bir değişkenin önce integralini, sonra türevini alırsanız (ya da tam tersi), değişkenin kendisini elde edersiniz. Aslında bu her zaman doğru değildir; integralin sınırları da önemlidir. Ancak basitçe akılda tutmak için, bu kadar detaya ihtiyacınız şimdilik yok. İkisini birbirinin tersi olarak görebilirsiniz.
Bu konuda daha pekçok söz söylenebilir; ancak umuyoruz ki bu matematiksel terimlerin ne için kullanıldığını anlamanıza katkı sağlamışızdır.
ÖZEL DERS HALKALI
matematiksel.org

Parmakla Trigonometri Hesabı

Parmakla Trigonometri Hesabı

Trigonometri Formülleri

Parmaklarla Trigonometri Nasıl Hesaplanır, Trigonometri Formülleri

Trigonometri konusunun olmazsa olmazlarıdır özel açıların trigonometrik oranları.

Eşkenar üçgeni, ikizkenar üçgeni ve pisagor bağıntısını bilen herkes aslında bu oranları hesaplayabilir.

30°-60°-90° ve 45°-45°-90° üçgenlerinin çizilmesiyle bu açıların oranları karşımıza çıkmaktadır.

Ancak bu çıkarımları yapmaktansa kimi zaman öğrencilere ezberlemek daha kolay gelir.

Parmak hesabı trigonometri ile sinüs ve kosinüs değerlerini nasıl bulabileceğinizi aşağıdan görebilirsiniz.

Tanjant ve kotanjantı da siz hesaplayabilirsiniz.

(Biliyorsunuz ki tanjant=sinüs/kosinüs ve kotanjant=kosinüs/sinüs’e eşittir.)

parmakla-trigonometri-hesabi

Arkadaş Sayılar Nedir?

Arkadas-Sayilarİki sayı birbirinin kendisi hariç pozitif bölenleri toplamına eşitse bu sayılara arkadaş sayılar denir.

En küçük arkadaş sayı çifti 200 ve 284’tür.

Bu iki sayı arkadaş sayıdır çünkü 220’nin kendisi hariç pozitif bölenlerinin toplamı 284’e, 284’ün kendisi hariç pozitif bölenlerinin toplamı 220’ye eşittir.

220’nin kendisi hariç pozitif bölenlerinin toplamı : 1 + 2 + 4 + 5 + 10 + 11 + 20 + 22 + 44 + 55 + 110 = 284

284’ün kendisi hariç pozitif bölenlerinin toplamı : 1 + 2 + 4 + 71 + 142 = 220

1636’da Fermat 17296 ve 18416’nın arkadaş sayı olduklarını keşfetti.

Üçüncü çifti Descartes keşfetti.

Leonhard Euler ise, kendi bulduğu 59 çift ile birlikte 62 çiftten oluşan bir liste hazırladı.

1866’da 16 yaşındaki İtalyan Nicolo Paganini 1184 ve 1210 sayılarının da böyle bir çift olduğunu gösterdi.

İlk 10 arkadaş sayı çifti (220, 284), (1184, 1210), (2620, 2924), (5020, 5564), (6232, 6368), (10744, 10856), (12285, 14595), (17296, 18416), (63020, 76084), ve (66928, 66992)’dir.

www.istanbulmatematik.net 

matematikciler.org