Category Archive Bilgi Dağarcığı

Prizma-Piramit-Koni-Küre (Temel Elemanları ve Açınımları)

Prizma-Piramit-Koni-Küre

BU KONUDA ÖĞRENECEKLERİMİZ:

  • √ Geometrik Cisimler
  • √ Temel Elemanları ve Açınımları
  • BU KONUYLA İLGİLİ KAZANIMLAR:
  • √ Prizmayı inşa eder, temel elemanlarını belirler ve yüzey açınımını çizer.
  • √ Piramidi inşa eder, temel elemanlarını belirler ve yüzey açınımını çizer.
  • √ Koninin temel elemanlarını belirler, inşa eder ve yüzey açınımını çizer.
  • √ Kürenin temel elemanlarını belirler ve inşa eder.

PRİZMA

# Alt ve üst tabanları birbirine eş ve paralel çokgensel bölgelerden oluşan, yan yüzleri ise dörtgensel bölge olan geometrik cisimlere prizma adı verilir.

# Prizmalar tabanlarına göre isimlendirilir. (Örneğin tabanları birbirine paralel eş üçgensel bölge olan prizmaya üçgen prizma adı verilir.)

# Prizmanın temel elemanları; tabanları, yan yüzleri, ayrıtları, köşeleri ve yüksekliğidir.

# Prizmanın yüksekliği tabanları arasındaki dik uzaklıktır. Tabanlardan birinin herhangi bir noktasından diğer tabanına indirilen dikmedir.

# Tabanlarının kaşılıklı köşelerini birleştiren ayrıtları (yan yüzdeki ayrıtları) tabana dik olan prizmalara dik prizma, dik olmayan prizmalara eğik prizma denir.

Prizmalar-temel-elemanlari

# Dik prizmaların yan yüzleri dikdörtgensel bölgelerden, eğik prizmaların yan yüzleri paralelkenarsal bölgelerden oluşur.

Prizmalar-acinimlari

# Prizmaların taban merkezlerinden geçen doğruya eksen adı verilir.

Prizmalar-donme-simetrisi# Bir prizma ekseni etrafında 360°’den daha küçük bir açıyla döndürüldüğünde kendisiyle en az bir kere çakışıyorsa dönme simetrisine sahiptir. Dönme simetrisine sahip bir şeklin ilk defa kendisiyle çakıştığı açıya en küçük dönme simetri açısı denir.

# Tabanı düzgün çokgen olan dik prizmaların en küçük dönme simetri açıları, tabanlarının dış açılarına eşittir.

# Tabanı düzgün çokgen olan dik prizmaların en küçük dönme simetri açıları, 360’ı taban kenar sayısına bölerek bulunabilir.

Örneğin: Eşkenar üçgen dik prizmanın en küçük dönme simetri açısı : 360/3 =120° 

 PİRAMİT

# Bir çokgensel bölgeyi oluşturan bütün noktaların, bu noktaların bulunduğu düzlemin dışındaki bir nokta ile birleşmesinden oluşan cisme piramit adı verilir.

# Piramitler tabanlarına göre isimlendirilirler. (Örneğin üçgen piramit, kare piramit, dörtgen piramit gibi.)

# Piramidin temel elemanları; tepe noktası, tabanı, yan yüzleri, ayrıtları ve yüksekliğidir.

# Piramidin yüksekliği, tepe noktası ile tabanı arasındaki dik uzaklıktır. Tepe noktasından tabanına indirilen dikmedir.

Piramit-ve-acinimi

# Piramidin tabanı çokgensel bölge, yan yüzleri üçgensel bölgedir.

Piramit-ve-elemanlari

# Piramidin tepe noktasını tabanının merkezine (tabanın ağırlık merkezine) birleştiren doğru parçası tabana dik ise böyle piramide dik piramit, dik değil ise eğik piramit adı verilir.

Piramit-kesik# Dik piramit, tabanına paralel bir düzlemle kesildiğinde elde edilen iki parçadan tepe noktasının bulduğu kısım yine dik piramit olur. Tabana paralel olmayan bir düzlemle (tabanı kesmeyen ve tepe noktasından geçmeyen) kesilirse eğik piramit olur.

# Tabanı düzgün çokgen olan dik piramitlerde, prizmalarda olduğu gibi dönme simetrisi vardır.

Örneğin tabanı kare olan dik piramidin en küçük dönme simetri açısı: 360/4 =90°

KONİ

# Bir dairenin bütün noktalarının dışındaki bir nokta ile birleşmesinden oluşan cisme koni adı verilir.

# Koninin temel elemanları; dairesel bölge olan tabanı, taban düzlemi dışındaki bir nokta olan tepe noktası, tepe noktasıyla taban merkezinden geçen doğru olan ekseni, tepe noktasıyla taban çevresi üzerindeki bir noktadan geçen ana doğrusu (doğuran), ana doğrunun taban çevresi etrafında döndürülmesiyle oluşan yanal yüzeyidir.

Koni-ve-acinimi

# Ekseni tabana dik olan konilere dik koni (veya dönel koni), dik olmayan konilere eğik koni adı verilir.

# Dik koni tabanına paralel bir düzlemle kesilirse tepe noktasının bulunduğu parça dik koni oluşturur. Tabanına paralel olmayan, tabanından ve tepe noktasından geçmeyen bir düzlemle kesilirse tepe noktasının bulunduğu parça eğik koni oluşturur.

Koni-kesiti

# Dik koniler her açıda dönme simetrisine sahiptirler.

# Dik koninin yanal yüzü, bir dairenin belirli bir açı ile elde edilen dilimidir (sektör). Bu daire diliminin yarıçapı koninin anadoğrusunun tepe noktasıyla taban çevresi arasında kalan parçasına eşittir.

Koni-formul# Sektör yayının uzunluğu koninin taban çevresine eşittir. Buradan yola çıkarak şu formül bulunabilir.

Taban cevresi = Daire dilimi cevresi 

2π r= 2π a.α/360 

r=a.α/360 

r/a =α/360

 KÜRE

# Bir noktaya eşit uzaklıktaki noktalar kümesine küre denir.

# Kürenin temel elemanları; merkezi, yarıçapı ve yüzeyidir.

Kure-ve-elemanlari# Bir düzlemin küre ile olan arakesiti en büyük daire ise bu düzlem kürenin merkezinden geçer. Oluşan arakesit dairedir, bu dairenin merkezi kürenin de merkezidir ve bu dairenin yarıçapı kürenin de yarıçapıdır.

# Merkezinden geçen düzlemlerle kürenin ara kesitine büyük daire, küre yüzeyinin ara kesitine büyük çember adı verilir.

# Özel bir küre, merkezi ve yarıçapı ile belirlenir.

# Küre açınımı yüzünden diğer cisimlerden ayrılır çünkü tam olarak açılamaz.

Sınav Stresini Azaltan Yiyecekler (YGS ve diğer sınavlar için)

Acaba doğru besleniyor muyuz ?

İnsan vücudu mükemmel bir fabrika gibi kusursuzca çalışıyor, bu fabrikaya gerekli ilgiyi ve bakımı göstermediğimiz zaman arıza veriyor,sonucunda hastalıklar oluşuyor.

Yemediğimiz, içtiğimiz gıdaların çok büyük bir rolü var bu vücut dengesini sağlamak üzerine.

Özellikle sınavlara hazırlananlar beslenmeniz çok önemli; Lütfen dikkatle okuyunuz…

Çoğu arkadaşımız;

Konsantre olamamaktan,

Öğrendiklerini çabucak unutmaktan,

Dikkatini veremeyip aynı sayfayı/soruyu tekrar tekrar okuduklarından yakınıyorlar

Acaba hangi besinler beynimizin daha iyi çalışmasına yardımcı olur..?

ODAKLANMA İÇİN: 

Ceviz, fındık, fıstık:

Konferanslarda, derslerde, uzun araba yolculuklarında, sinirleri kuvvetlendirirken, beyindeki haber alma maddelerinin oluşumunu hareketlendirirler.

Soğan:

Aşırı yıpranmaya, fiziksel yorgunluğa karşı. Kanı sulandırır, beyin oksijeni daha iyi alır.

Karides:

Beyin besinidir. Vücuda önemli omega 3 yağ asitleri sağlar. Dikkat verme süresini daha uzatır.

ÖĞRENME İÇİN: 

 

..

Lahana

Tiroit bezlerinin aktivitesini yavaşlattığı için daha stressiz öğrenmeyi sağlar. Stresin getirdiği atıştırma krizlerinde, düşük kalorisi sayesinde bol bol çiğ olarak yenebilir.

Limon- Portakal:

C vitamininden dolayı canlandırır, algılama yeteneğini artırır. Çalışma ve sınav öncesi, limonata veya portakal suyu

Yaban mersini:

Beynin kanla daha iyi beslenmesi için, uzun süreli bir öğrenmede ideal bir meyvedir.

sınav stresini azaltan yiyecekler

HAFIZA İÇİN: 

Havuç:

Beyin metabolizmasını canlandırarak, hatırlama yeteneğini arttırır, Bir şey ezberlerken bir küçük tabak sıvı yağlı havuç salatası yiyin.

Ananas:

Uzun bir metin ezberleyebilmek için fazla miktarda C vitaminine ihtiyaç vardır. Ayrıca önemli bir eser halinde element olan mangan içerir.

Avokado:

Kısa süreli hafıza içindir. Fazla miktarda yağ asidi içerir. Yarım avokado yeterlidir.

YARATICILIK İÇİN: 

Zencefil: İçerdiği maddeler beynin yeni fikirler üretmesini sağlar. Kan sulandığı için vücutta daha serbest akar, beyin oksijenle beslenir.

Kimyon: İçerdiği uçucu yağlar bütün sinir sistemini uyarır. Aniden bir fikre, bir buluşa ihtiyacı olan kimyon çayı içmelidir (bir fincana iki tatlı kaşığı dolusu kimyonla).

sınav stresini azaltan yiyecekler2

MUTLULUK İÇİN :

Çilek: Bir küçük kase çilek, stresi giderir, mutluluk verir.

Muz: Serotonin içerdiği için mutluluk verir.

Kırmızı biber: Aroma maddeleri vücudun mutluluk hormonu endorphinin salgılanmasını sağlar. Çiğ ve acı olanı en etkilidir.

(Çilek ve muz: unutmayın 🙂 (ballı olsun)

STRESE KARŞI: 

Gerginken yenmek istenen çikolata, hamur işi,tatlı gibi besinler, kola, kahve gibi içecekler çok miktarda şeker ve kafein içerdikleri için sinirleri bozarlar. Doğru bir beslenme stresli zamanların üstesinden gelmemizde bize yardımcı olacaktır. Bunun için de yanlış alışkanlıklarımızı değiştirmemiz gerekecektir.

Pİ SAYISI

pi sayısı

Nedir Bu Pi Sayısı?

Pi sayısı, bir dairenin çevresinin çapına bölümü ile elde edilen sayıdır. Bu oran her daire için aynı değeri aldığından, π sayısı bir matematiksel sabittir.

Günlük kullanımda basitçe π ≈ 3,1416 olarak ifade edilmesine rağmen gerçek değerini ifade etmek için periyodik olarak tekrar etmeyen sonsuz sayıda basamağa ihtiyaç vardır.

İlk 65 basamağa kadar ondalık açılımı şöyledir:

3, 14159 26535 89793 23846 26433 83279 50288 41971 69399 37510 58209 74944 5923

Pi-unrolled-720

        Bir çemberin çapı 1 olduğunda, çevresi Pi’ye eşittir.

Nedir Pi Sayısını Çekici Kılan?

Pi, kültürel açıdan matematiksel sabitler içersinde en çok etki yaratanıdır. Bunu en basit nedenleri çok eskiden beri bilinmesi, çember gibi çok yaygın bir geometrik cisimle ilgili olmasi ise de bir başka nedeni de görünüşe göre bir kural izlemeyen ondalık açılımının insan aklını zorlayan kavranışıdır. Her ne kadar matematiksel açıdan π çok az bir gizem içerse de popüler kültürde bunun aksini işleyen eserler bolca mevcuttur. Ayrıca Eski Ahit’in bir bölümünde Pi sayısının değerinin 3 olduğu ima edildiğinden, kökten dinci hristiyanlar arasında π’nin değerinin okullarda 3 olarak öğretilmesini savunanlar da vardır.

Pi Sayısının ilk 12 rakamını ezberlemek için yazılmış bir şiir (Davut AltınSu) :

Sen çözebilirmisin o sırlı rakamları?

3             14          1    5         9

Bu sözümü düşün, Çöz gizli sırımızı!

2         6         5       3      5      8

Pi Sayısının Adı Nerden Geliyor?

Pi sayısı ismini, Yunanca περίμετρον yani “çevre” sözcüğünün ilk harfi olan π harfinden alır. Bu harf Latin Alfabesi’nde Pİ ile sembolize edilir. Ayrıca pi sayısı Arşimet sabiti ve Ludolph sayısı olarak da bilinir.

Pi Sayısının Tarihçesi

Kaynaklar pi sayısı için, ilk gerçek değerin, Archimedes tarafından kullanıldığını belirtir. Archimedes; pi sayısının değerini hesaplamak için bir yöntem vermiş ve pi değerini 3+1/7 ile 3+10/71 arasında tespit etmiştir. Bu iki kesrin ondalık sayı karşılığı 3,142 ve 3,1408 dir. Bu iki değer, pi sayısının, bugünkü bilinen gerçek değerine çok yakın olan bir değerdir. Ancak Archimedes’in gençlik yıllarında Mısır’da uzun bir süre öğrenim gördüğü bilinmekte.

Archimedes’in sağlığında İskenderiye’de Öklid’den ders aldığı, Öklid’in de Eski Mısır ve Mezopotamya Babil yöresinde uzun yıllar dolaşan bir matematikçi olduğu, bilinen tarihi bir gerçektir. İskenderiyeli tarihçi Herodot, metrika adlı eserinde pi sayısı için verdiği değer 3,71’dir. Bu değer, İskenderiyeli Heron’dan sonra gelen, eski Yunan ve ortaçağ matematikçileri tarafından farklı değerler kullanılmıştır. İskenderiyeli Heron’un verdiği yaklaşık değerin de, Mezopotamya menşeli olması ve Mezopotamyalılar’dan alınma takribi bir sonucu temsil etmesi muhtemeldir.

Pi sayısı üzerinde, Babilliler’in çok eski zamanlardan beri, kullanılan yaklaşık bir bilgiye sahip oldukları anlaşılmıştır. Genel olarak pi=3 değerini kullanıyorlardı. Bazı tabletlerde pi=3,125 değeri ne de rastlanılmıştır. Aydın Sayılı, adı geçen eserinde, “Mezopotamyalılar’da, idealleştirilmiş çemberlerle üçgenlerdeki geometrik münasebetler aracılığıyla, çözümlenen problemlerde teorikleştirilmiş ve soyutlaştırılmış bir durum mevcuttur” der. Böyle problemlerde sonuç hesaplanırken pi sayısı için, değerinin kullanılmış olduğunu belirtir.

Bu değeri; Mezopotamyalılar takribi sonuçlar için kullanmaktaydılar. Daha iyi yaklaşık sonuçlar elde etmek istedikleri zaman pi=3,125 değerini uygularlardı. Ancak pi sayısının; Mısırlılar’ınkinden ve Susa tabletlerinin gösterdiği değerden oldukça daha iyi bir değeri, ilkin Archimedes tarafından bulunmuştur.

Kaynaklar; Mezopotamyalılar, yamuk alanı hesabı ile, silindir ve prizma hacim hesaplarını bildiklerini ve pi için de 3 değerini kullandıklarını belirtir. Fakat eski Babil çağına ait olup, Susa’da bulunmuş olan tabletlerde pi için kabul edilen değerin 3,125 olduğu anlaşılmaktadır.

Fraktallar

Fraktallar-fraktal-resimleri-1Fraktal parçalanmış ya da kırılmış anlamına gelen Lâtince fractuuss kelimesinden gelmiştir. İlk olarak 1975’de Polonya asıllı matematikçi Benoit Mandelbrot tarafından ortaya atıldığı varsayılır.

Kendi kendini tekrar eden ama sonsuza kadar küçülen şekilleri, kendine benzer bir cisimde cismi oluşturan parçalar ya da bileşenler cismin bütününü inceler.

Düzensiz ayrıntılar ya da desenler giderek küçülen ölçeklerde yinelenir ve tümüyle soyut nesnelerde sonsuza kadar sürebilir; tam tersi de her parçanın her bir parçası büyütüldüğünde, gene cismin bütününe benzemesi olayıdır.

Doğada görülebilen bir örnek olarak bazı bitkilerin yapısı verilebilir. Fraktala en çok verilen örnek eğrelti otudur. Eğrelti otunun her yaprağının üzerinde yine küçük küçük yapraklar vardır.

Fraktalın özellikleri Nelerdir ?

Tüm fraktallar kendine benzer ya da en azından tümüyle kendine benzer olmamakla birlikte,    çoğu bu özelliği taşır. Kendine benzer bir cisimde cismi oluşturan parçalar ya da bileşenler cismin bütününe benzer. Düzensiz ayrıntılar ya da desenler giderek küçülen ölçeklerde yinelenir ve tümüyle soyut nesnelerde sonsuza değin sürebilir; öyle ki,her parçanın her bir parçası büyütüldüğünde,  gene cismin bütününe benzer. Bu fraktal olgusu, kar tanesi ve ağaç kabuğunda kolayca gözlenebilir. Bu tip tüm doğal fraktallar ile matematiksel olarak kendine benzer olan bazıları, stokastik, yani rastgeledir; bu nedenle ancak istatistiksel olarak ölçeklenirler. Fraktal cisimler,düzensiz biçimli olduklarından ötürü Eukleidesçi şekilleri ötelenme bakışına sahip değildirler. (Ötelenme bakışımına sahip bir cisim kendi çevresinde döndürüldüğünde görünümü aynı kalır.)

Fraktalların bir başka önemli özelliği de, fraktal boyut olarak adlandırılan bir matematiksel parametredir. Bu cisim ne kadar büyütülürse büyütülsün ya da bakış açısı ne kadar değiştirilirse değiştirilsin, hep aynı kalan fraktalların bir özelliğidir. Eukleidesçi boyutun tersine fraktal boyut, genellikle tam sayı olmayan bir sayıyla, yani bir kesir ile ifade edilir. Fraktal boyut, bir fraktal eğri yardımıyla anlaşılabilir.

Oluşturulmasının her aşamasında bu tip bir eğrinin çevre uzunluğu 4/3 oranında büyür. Fraktal boyut (D)4’e eşit olabilmesi için alınması gereken kuvvetini gösterir; yani;

3d =4 bu bakımdan fraktal eğriyi niteleyen boyut log4/log3 ya da kabaca 1,26’dır. Fraktal boyut, Eukleidesçi olmayan belirli bir biçimin karmaşıklığını ve şekil nüanslarını açığa çıkarır.

Fraktal Nerelerde Yararlanılır Kullanılır ?

Kendine benzerlik ve tamsayı olmayan boyutlu kavramlarıyla birlikte fraktal geometri, istatistiksel mekanikte, özellikle görünürde  rastgele özelliklerden oluşan fiziksel sistemlerin incelenmesinde giderek daha yaygın olarak kullanılmaya başlanmıştır. Örneğin, gökada kümelerinin evrendeki dağılımının saptanmasında ve akışkan burgaçlanmalarına ilişkin problemlerin çözülmesinde fraktal benzetimlerden (simülasyon) yararlanılmaktadır. Fraktal geometri bilgisayar grafiklerinde de yararlı olmaktadır. Fraktal algoritma ise, engebeli dağlık araziler ya da ağaçların karışık dal sistemleri gibi karmaşık, çok düzensiz doğal cisimlerin gerçektekine benzer görüntülerinin oluşturulabilmesini olanaklı kılmıştır.

Fraktal örnekleri:

matematikciler.org

Fibonacci Sayıları

FibonacciFibonacci Sayıları

İtalyan matematikçi Fibonacci yazdığı matematik kitaplarından birinde tavşan çiftliği olan bir arkadaşıyla ilgili olduğunu iddia ettiği bir problem sorar. Bu probleme göre arkadaşının çiftliğindeki tavşanlar doğdukları ilk iki ay yavru yapmazlar. Üçüncü aydan itibaren her çift her ay bir çift yavru yapar. Buna göre Fibonacci’nin arkadaşı bir çift tavşanla başlarsa kaç ay sonra kaç çift tavşanı olur?
İlk ay yeni doğmuş bir çift tavşanımız olsun. Matematik problemlerinde bu yavruların anasız babasız nasıl büyütülecekleri konusuna pek girilmez. İkinci ayda bu tavşanlar henüz yavrulamadıkları için hala bir çift tavşanımız var. Üçüncü ay bunlar bir çift yavru verecek ve iki çift tavşanımız olacak. Yeni doğan çift dördüncü ay doğurmayacak, oysa ana babaları yeniden bir çift yavru yapacak ve toplam üç çift tavşanımız olacak. Bu şekilde devam edersek pek bir yere varamayacağız galiba. Düşünsenize 100.aya kadar hesabı böyle götürmemiz mümkün mü? Örneğin 100.ayda kaç tavşanımız olacağını doğrudan hesaplamaya çalışalım. 99.ayda kaç tavşanımız varsa onların hepsi 100. ayda da olacak. Bunların bir kısmı yavrulayacak. Yavrulayacak olanların en az iki aylık olması gerektiğine göre 100. ayda yavrulayacak olanlar 98.ayda sahip olduğumuz tavşanların hepsi olacak. Demek ki 100. aydaki tav-şan sayısını bulmak için 98.aydaki tavşan sayısıyla 99.aydaki tavşan sayısını toplamak gerekiyor.
fibonacci sayilari
Bu hesaba bazı itirazlar yükselebilir. Biz sadece 100. aydaki sayıyı merak ediyorduk. Şimdi onu bulmak için hem 98. hem de 99. aylardaki sayıyı bulmamız gerekecek. Bu hesabı 100. ayda değil de üçüncü aydan itibaren yapalım. Birinci ve ikinci aylarda birer çift tavşanımız vardı. Demek ki üçüncü ay iki çift tavşanımız olacak. İkinci aydaki bir çift ile üçüncü aydaki iki çifti toplarsak dördüncü ay üç çifti bulacağız.
Buna göre Fibonacci sayılarının ilk birkaç tanesi şöyle sıralanır:
1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89,144,233,377,610,987,1597,2584,4181,6765,10946…
Bu arada unutmadan 100.ayda kaç çift tavşanı olacak sorusunun cevabı da şöyle: 354 224 848 179 261 915 075
matematikciler.org