Category Archive Aşkın Sayılar

Arkadaş Sayılar Nedir?

Arkadas-Sayilarİki sayı birbirinin kendisi hariç pozitif bölenleri toplamına eşitse bu sayılara arkadaş sayılar denir.

En küçük arkadaş sayı çifti 200 ve 284’tür.

Bu iki sayı arkadaş sayıdır çünkü 220’nin kendisi hariç pozitif bölenlerinin toplamı 284’e, 284’ün kendisi hariç pozitif bölenlerinin toplamı 220’ye eşittir.

220’nin kendisi hariç pozitif bölenlerinin toplamı : 1 + 2 + 4 + 5 + 10 + 11 + 20 + 22 + 44 + 55 + 110 = 284

284’ün kendisi hariç pozitif bölenlerinin toplamı : 1 + 2 + 4 + 71 + 142 = 220

1636’da Fermat 17296 ve 18416’nın arkadaş sayı olduklarını keşfetti.

Üçüncü çifti Descartes keşfetti.

Leonhard Euler ise, kendi bulduğu 59 çift ile birlikte 62 çiftten oluşan bir liste hazırladı.

1866’da 16 yaşındaki İtalyan Nicolo Paganini 1184 ve 1210 sayılarının da böyle bir çift olduğunu gösterdi.

İlk 10 arkadaş sayı çifti (220, 284), (1184, 1210), (2620, 2924), (5020, 5564), (6232, 6368), (10744, 10856), (12285, 14595), (17296, 18416), (63020, 76084), ve (66928, 66992)’dir.

www.istanbulmatematik.net 

matematikciler.org

Bilinen En Büyük Asal Sayı

Bilinen En Büyük Asal Sayı

Yaklaşık 3 yıl önce bulunan 17.425.170 basamaklı en uzun asal sayı rekoru, 7 Ocak 2016 tarihi itibariyle 22.338.618 basamaklı yeni asal sayının bulunmasıyla geçildi. Internet Mersenne Prime Search (GIMPS) (Mersenne Asalları Büyük İnternet Araştırması) projesindeki gönüllüler ile Missouri Üniversitesi’nde görevli olan Dr. Curtis Cooper yaklaşık bir ay süren çalışmalar sonucunda bugüne kadar bilinen en büyük Mersenne asal sayısını keşfetti.

274,207,281-1 (2^74,207,281-1) şeklinde yazılan 49’uncu Mersenne sayısının doğruluğunu teyit eden Squirrels yazılım firmasının müdürü David Stanfill, bu tür uzun asalların dijital güvenlik için önem arz ettiğini söyledi.

Stanfill ayrıca bu asal sayının kağıda dökülmesi halinde yaklaşık 7 milyondan fazla virgülle yazılacağını ve 109 kilometre uzunluğunda olacağını belirtti.

En Büyük Asal Sayı Kaçtır?

Öklid (Euklides)’ten beri asal sayıların sonsuz olduğu kabul edilir. Asal sayılar hakkındaki pek çok soru günümüzde hâlâ cevaplanamamaktadır. Asırlardır asal sayılar üzerinde bir çok teorem ortaya atılmış, asal sayıların bulunması için çeşitli formüller üretilmeye çalışılmıştır. Fakat bunların hepsinin yanlış olduğu kanıtlanmıştır. Günümüzde asal sayıları veren bir matematik formülü bulunmamaktadır. Sayılar Teorisi’nin en önemli uğraşısı asal sayılar hakkındaki bu tür sorulardır. Asal sayılar ayrıca Kriptografi alanının da yapı taşlarıdır.

Bilinen En Büyük Asal Sayı: 274,207,281-1

Bilinen En Büyük Asal Sayı Listesi

Asal-sayilar-2Öklid (Euklides)‘ten beri asal sayıların sonsuz olduğunu biliyoruz. Bugüne kadar asal sayıları bulma ile ilgili bir formül üretilmeye çalışılmış olsa da sonuç hep hüsran olmuştur. Sonsuz olan bu sayıların bir formülü bulunamasa da bilinen asal sayılar kümemizi genişletme çabaları devam etmektedir.

Aşağıdaki tablo bilinen en büyük asal sayıların tarihçesini gözler önüne sermektedir.

Tablodaki M harfi Mersenne sayılarını ifade etmektedir. M harfinin yanındaki sayıyı formülde yerine koyarak Mersenne asal sayısını bulabilirsiniz. Mn= 2n − 1

 

Sayı Basamak Bulunma Yılı
M127 39 1876
180×(M127)2 + 1 79 1951
M521 157 1952
M607 183 1952
M1279 386 1952
M2203 664 1952
M2281 687 1952
M3217 969 1957
M4423 1,332 1961
M9689 2,917 1963
M9941 2,993 1963
M11213 3,376 1963
M19937 6,002 1971
M21701 6,533 1978
M23209 6,987 1979
M44497 13,395 1979
M86243 25,962 1982
M132049 39,751 1983
M216091 65,050 1985
391581×2216193 − 1 65,087 1989
M756839 227,832 1992
M859433 258,716 1994
M1257787 378,632 1996
M1398269 420,921 1996
M2976221 895,932 1997
M3021377 909,526 1998
M6972593 2,098,960 1999
M13466917 4,053,946 2001
M20996011 6,320,430 2003
M24036583 7,235,733 2004
M25964951 7,816,230 2005
M30402457 9,152,052 2005
M32582657 9,808,358 2006
M43112609 12,978,189 2008
M57885161 17,425,170 2013
M74207281 22,338,618 2016

 BİLİNEN EN BÜYÜK 10 ASAL SAYI

Şimdiki tablomuz ise bilinen en büyük on asal sayı üzerine.

Sıra Asal Sayı Bulan Bulunma Tarihi Basamak Sayısı
1. 274,207,281 − 1 GIMPS 2016 Ocak 7 22,338,618
2. 257,885,161 − 1 GIMPS 2013 Ocak 25 17,425,170
3. 243,112,609 − 1 GIMPS 2008 Ağustos 23 12,978,189
4. 242,643,801 − 1 GIMPS 2009 Nisan 12 12,837,064
5. 237,156,667 − 1 GIMPS 2008 Eylül 6 11,185,272
6. 232,582,657 − 1 GIMPS 2006 Eylül 4 9,808,358
7. 230,402,457 − 1 GIMPS 2005 Aralık 15 9,152,052
8. 225,964,951 − 1 GIMPS 2005 Şubat 18 7,816,230
9. 224,036,583 − 1 GIMPS 2004 Mayıs 15 7,235,733
10. 220,996,011 − 1 GIMPS 2003 Kasım 17 6,320,430

En Büyük Asal Sayı Bulundu, Bilinen En Büyük Asal Sayı Kaçtır | Mersenne Asalları

matematikciler.org

Pİ SAYISI

pi sayısı

Nedir Bu Pi Sayısı?

Pi sayısı, bir dairenin çevresinin çapına bölümü ile elde edilen sayıdır. Bu oran her daire için aynı değeri aldığından, π sayısı bir matematiksel sabittir.

Günlük kullanımda basitçe π ≈ 3,1416 olarak ifade edilmesine rağmen gerçek değerini ifade etmek için periyodik olarak tekrar etmeyen sonsuz sayıda basamağa ihtiyaç vardır.

İlk 65 basamağa kadar ondalık açılımı şöyledir:

3, 14159 26535 89793 23846 26433 83279 50288 41971 69399 37510 58209 74944 5923

Pi-unrolled-720

        Bir çemberin çapı 1 olduğunda, çevresi Pi’ye eşittir.

Nedir Pi Sayısını Çekici Kılan?

Pi, kültürel açıdan matematiksel sabitler içersinde en çok etki yaratanıdır. Bunu en basit nedenleri çok eskiden beri bilinmesi, çember gibi çok yaygın bir geometrik cisimle ilgili olmasi ise de bir başka nedeni de görünüşe göre bir kural izlemeyen ondalık açılımının insan aklını zorlayan kavranışıdır. Her ne kadar matematiksel açıdan π çok az bir gizem içerse de popüler kültürde bunun aksini işleyen eserler bolca mevcuttur. Ayrıca Eski Ahit’in bir bölümünde Pi sayısının değerinin 3 olduğu ima edildiğinden, kökten dinci hristiyanlar arasında π’nin değerinin okullarda 3 olarak öğretilmesini savunanlar da vardır.

Pi Sayısının ilk 12 rakamını ezberlemek için yazılmış bir şiir (Davut AltınSu) :

Sen çözebilirmisin o sırlı rakamları?

3             14          1    5         9

Bu sözümü düşün, Çöz gizli sırımızı!

2         6         5       3      5      8

Pi Sayısının Adı Nerden Geliyor?

Pi sayısı ismini, Yunanca περίμετρον yani “çevre” sözcüğünün ilk harfi olan π harfinden alır. Bu harf Latin Alfabesi’nde Pİ ile sembolize edilir. Ayrıca pi sayısı Arşimet sabiti ve Ludolph sayısı olarak da bilinir.

Pi Sayısının Tarihçesi

Kaynaklar pi sayısı için, ilk gerçek değerin, Archimedes tarafından kullanıldığını belirtir. Archimedes; pi sayısının değerini hesaplamak için bir yöntem vermiş ve pi değerini 3+1/7 ile 3+10/71 arasında tespit etmiştir. Bu iki kesrin ondalık sayı karşılığı 3,142 ve 3,1408 dir. Bu iki değer, pi sayısının, bugünkü bilinen gerçek değerine çok yakın olan bir değerdir. Ancak Archimedes’in gençlik yıllarında Mısır’da uzun bir süre öğrenim gördüğü bilinmekte.

Archimedes’in sağlığında İskenderiye’de Öklid’den ders aldığı, Öklid’in de Eski Mısır ve Mezopotamya Babil yöresinde uzun yıllar dolaşan bir matematikçi olduğu, bilinen tarihi bir gerçektir. İskenderiyeli tarihçi Herodot, metrika adlı eserinde pi sayısı için verdiği değer 3,71’dir. Bu değer, İskenderiyeli Heron’dan sonra gelen, eski Yunan ve ortaçağ matematikçileri tarafından farklı değerler kullanılmıştır. İskenderiyeli Heron’un verdiği yaklaşık değerin de, Mezopotamya menşeli olması ve Mezopotamyalılar’dan alınma takribi bir sonucu temsil etmesi muhtemeldir.

Pi sayısı üzerinde, Babilliler’in çok eski zamanlardan beri, kullanılan yaklaşık bir bilgiye sahip oldukları anlaşılmıştır. Genel olarak pi=3 değerini kullanıyorlardı. Bazı tabletlerde pi=3,125 değeri ne de rastlanılmıştır. Aydın Sayılı, adı geçen eserinde, “Mezopotamyalılar’da, idealleştirilmiş çemberlerle üçgenlerdeki geometrik münasebetler aracılığıyla, çözümlenen problemlerde teorikleştirilmiş ve soyutlaştırılmış bir durum mevcuttur” der. Böyle problemlerde sonuç hesaplanırken pi sayısı için, değerinin kullanılmış olduğunu belirtir.

Bu değeri; Mezopotamyalılar takribi sonuçlar için kullanmaktaydılar. Daha iyi yaklaşık sonuçlar elde etmek istedikleri zaman pi=3,125 değerini uygularlardı. Ancak pi sayısının; Mısırlılar’ınkinden ve Susa tabletlerinin gösterdiği değerden oldukça daha iyi bir değeri, ilkin Archimedes tarafından bulunmuştur.

Kaynaklar; Mezopotamyalılar, yamuk alanı hesabı ile, silindir ve prizma hacim hesaplarını bildiklerini ve pi için de 3 değerini kullandıklarını belirtir. Fakat eski Babil çağına ait olup, Susa’da bulunmuş olan tabletlerde pi için kabul edilen değerin 3,125 olduğu anlaşılmaktadır.

Bizimle iletişime geçin (Sadece Özel Ders)